(************** Content-type: application/mathematica ************** Mathematica-Compatible Notebook This notebook can be used with any Mathematica-compatible application, such as Mathematica, MathReader or Publicon. The data for the notebook starts with the line containing stars above. To get the notebook into a Mathematica-compatible application, do one of the following: * Save the data starting with the line of stars above into a file with a name ending in .nb, then open the file inside the application; * Copy the data starting with the line of stars above to the clipboard, then use the Paste menu command inside the application. Data for notebooks contains only printable 7-bit ASCII and can be sent directly in email or through ftp in text mode. Newlines can be CR, LF or CRLF (Unix, Macintosh or MS-DOS style). 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Define Sigma2[w] = Sigma*^(2)(w,k) for fixed k, and model the pole structure \ of the second-order proper self-energy by equally spaced poles.\ \>", "Text"], Cell[BoxData[ \(line[w_]\ := \ w\ - \ E0\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(Sigma2[w_]\ := \ lamsq*Sum[ 1/\((w\ - \ E0\ - \ \((n - 1/2)\)*eps)\), {n, \(-nmax\), nmax + 1}]\)], "Input"], Cell["\<\ Parameters of the schematic model: nmax controls the number of poles in the proper self-energy = 2 ( nmax + 1 ) E0 is the position of the pole in the first-order Green's function lamsq = lambda^2 is the square of the coupling constant eps denotes the spacing of the poles in the second-order self-energy\ \>", \ "Text"], Cell["\<\ The parameters can be changed. Note, however, that the coupling \ lamsq should be small compared to the spacing eps.\ \>", "Text"], Cell[BoxData[ \(nmax = 10; \ E0\ = 0; \ lamsq\ = \ .16; eps = .5;\)], "Input"], Cell["w interval for plots.", "Text"], Cell[BoxData[ \(\(wmax\ = \ E0\ + \ \((nmax + 2)\)*eps;\)\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(\(wmin\ = \ E0 - \((nmax + 2)\)*eps;\)\)], "Input"], Cell["\<\ Graphical solution for line[w] = Sigma2[w], output is generated at \ the end of the notebook.\ \>", "Text"], Cell[BoxData[ \(\(plot1\ = \ Plot[{line[w], Sigma2[w]}, {w, wmin, wmax}, PlotRange \[Rule] {line[wmin], line[wmax]}, PlotStyle \[Rule] {{RGBColor[1, 0, 0]}, {RGBColor[0, 0, 1]}}, Frame \[Rule] True, Axes \[Rule] {True, False}, DisplayFunction \[Rule] Identity];\)\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(root[n_] := IntervalBisection[line[w] - Sigma2[w], w, Interval[{E0 + \((n - 3/2)\)*eps, E0 + \((n - 1/2)\)*eps}], 10^\((\(-6\))\), MaxRecursion \[Rule] 100]\)], "Input"], Cell["\<\ Position of the poles in w of the interacting Green's function and \ their residues = zfactors.\ \>", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(wpoles\ = \ Table[\(root[n]\)[\([1, 2]\)], {n, \(-nmax\), nmax + 2}]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \({\(-5.2884683609008745`\), \(-4.7897567749023375`\), \ \(-4.293051719665523`\), \(-3.797668457031245`\), \(-3.303793907165527`\), \ \(-2.81194591522217`\), \(-2.323028564453121`\), \(-1.8385591506958012`\), \ \(-1.3610229492187484`\), \(-0.8940763473510738`\), \ \(-0.44113826751709007`\), 9.536743164062544`*^-7, 0.4411392211914067`, 0.8940773010253906`, 1.3610239028930657`, 1.8385601043701185`, 2.323029518127439`, 2.8119468688964884`, 3.303794860839845`, 3.7976694107055633`, 4.293052673339843`, 4.7897577285766575`, 5.288469314575194`}\)], "Output"] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(zfactors\ = \ 1/\((1\ + \ lamsq*Sum[ 1/\((wpoles - E0 - \((n - 1/2)\)*eps)\)^2, {n, \(-nmax\), nmax + 1}])\)\)], "Input"], Cell[BoxData[ \({0.009087806081585603`, 0.009625204305120027`, 0.011214791455185447`, 0.013635762866860392`, 0.01716325612540745`, 0.022366508203725946`, 0.030251024337970528`, 0.04252998969704115`, 0.061788810449102116`, 0.09017376151115498`, 0.12271664105190722`, 0.1388838140262442`, 0.12271714946395569`, 0.09017454254212139`, 0.061789646139967985`, 0.042530778884589664`, 0.030251739150638404`, 0.02236714945095908`, 0.01716383312312299`, 0.013636286461077222`, 0.01121527232658243`, 0.009625654162318528`, 0.009088249033610175`}\)], "Output"] }, Open ]], Cell["\<\ Check that the sum of the residues = 1 constrained by the sum rule \ on the spectral function.\ \>", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(zsum\ = \ Apply[Plus, zfactors]\)], "Input"], Cell[BoxData[ \(0.9999976708502486`\)], "Output"] }, Open ]], Cell["Generates a plot of the spectral function.", "Text"], Cell[BoxData[ \(\(plot2\ = \ ListPlot[Transpose[{wpoles, line[wpoles]}], \ PlotStyle \[Rule] PointSize[ .012], DisplayFunction \[Rule] Identity];\)\)], "Input"], Cell["\<\ Plot the graphical solution for the poles of the interacting \ Green's function.\ \>", "Text"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ \(Show[plot1, plot2, DisplayFunction \[Rule] $DisplayFunction]\)], "Input"], Cell[GraphicsData["PostScript", "\<\ %! %%Creator: Mathematica %%AspectRatio: .61803 MathPictureStart /Mabs { Mgmatrix idtransform Mtmatrix dtransform } bind def /Mabsadd { Mabs 3 -1 roll add 3 1 roll add exch } bind def %% Graphics %%IncludeResource: font Courier %%IncludeFont: Courier /Courier findfont 10 scalefont setfont % Scaling calculations 0.5 0.0793651 0.309017 0.0515028 [ [.02381 -0.0125 -6 -9 ] [.02381 -0.0125 6 0 ] [.18254 -0.0125 -6 -9 ] [.18254 -0.0125 6 0 ] [.34127 -0.0125 -6 -9 ] [.34127 -0.0125 6 0 ] [.5 -0.0125 -3 -9 ] [.5 -0.0125 3 0 ] [.65873 -0.0125 -3 -9 ] [.65873 -0.0125 3 0 ] [.81746 -0.0125 -3 -9 ] [.81746 -0.0125 3 0 ] [.97619 -0.0125 -3 -9 ] [.97619 -0.0125 3 0 ] [ 0 0 -0.125 0 ] [-0.0125 .10301 -12 -4.5 ] [-0.0125 .10301 0 4.5 ] [-0.0125 .20601 -12 -4.5 ] [-0.0125 .20601 0 4.5 ] [-0.0125 .30902 -6 -4.5 ] [-0.0125 .30902 0 4.5 ] [-0.0125 .41202 -6 -4.5 ] [-0.0125 .41202 0 4.5 ] [-0.0125 .51503 -6 -4.5 ] [-0.0125 .51503 0 4.5 ] [-0.0125 .61803 -6 -4.5 ] [-0.0125 .61803 0 4.5 ] [ 0 0 -0.125 0 ] [ 0 .61803 .125 0 ] [ 1 0 .125 0 ] [ 0 0 0 0 ] [ 1 .61803 0 0 ] ] MathScale % Start of Graphics 1 setlinecap 1 setlinejoin newpath 0 g .25 Mabswid [ ] 0 setdash .02381 0 m .02381 .00625 L s [(-6)] .02381 -0.0125 0 1 Mshowa .18254 0 m .18254 .00625 L s [(-4)] .18254 -0.0125 0 1 Mshowa .34127 0 m .34127 .00625 L s [(-2)] .34127 -0.0125 0 1 Mshowa .5 0 m .5 .00625 L s [(0)] .5 -0.0125 0 1 Mshowa .65873 0 m .65873 .00625 L s [(2)] .65873 -0.0125 0 1 Mshowa .81746 0 m .81746 .00625 L s [(4)] .81746 -0.0125 0 1 Mshowa .97619 0 m .97619 .00625 L s [(6)] .97619 -0.0125 0 1 Mshowa .125 Mabswid .06349 0 m .06349 .00375 L s .10317 0 m .10317 .00375 L s .14286 0 m .14286 .00375 L s .22222 0 m .22222 .00375 L s .2619 0 m .2619 .00375 L s .30159 0 m .30159 .00375 L s .38095 0 m .38095 .00375 L s .42063 0 m .42063 .00375 L s .46032 0 m .46032 .00375 L s .53968 0 m .53968 .00375 L s .57937 0 m .57937 .00375 L s .61905 0 m .61905 .00375 L s .69841 0 m .69841 .00375 L s .7381 0 m .7381 .00375 L s .77778 0 m .77778 .00375 L s .85714 0 m .85714 .00375 L s .89683 0 m .89683 .00375 L s .93651 0 m .93651 .00375 L s .25 Mabswid 0 0 m 1 0 L s 0 .10301 m .00625 .10301 L s [(-4)] -0.0125 .10301 1 0 Mshowa 0 .20601 m .00625 .20601 L s [(-2)] -0.0125 .20601 1 0 Mshowa 0 .30902 m .00625 .30902 L s [(0)] -0.0125 .30902 1 0 Mshowa 0 .41202 m .00625 .41202 L s [(2)] -0.0125 .41202 1 0 Mshowa 0 .51503 m .00625 .51503 L s [(4)] -0.0125 .51503 1 0 Mshowa 0 .61803 m .00625 .61803 L s [(6)] -0.0125 .61803 1 0 Mshowa .125 Mabswid 0 .02575 m .00375 .02575 L s 0 .0515 m .00375 .0515 L s 0 .07725 m .00375 .07725 L s 0 .12876 m .00375 .12876 L s 0 .15451 m .00375 .15451 L s 0 .18026 m .00375 .18026 L s 0 .23176 m .00375 .23176 L s 0 .25751 m .00375 .25751 L s 0 .28327 m .00375 .28327 L s 0 .33477 m .00375 .33477 L s 0 .36052 m .00375 .36052 L s 0 .38627 m .00375 .38627 L s 0 .43777 m .00375 .43777 L s 0 .46353 m .00375 .46353 L s 0 .48928 m .00375 .48928 L s 0 .54078 m .00375 .54078 L s 0 .56653 m .00375 .56653 L s 0 .59228 m .00375 .59228 L s .25 Mabswid 0 0 m 0 .61803 L s .02381 .61178 m .02381 .61803 L s .18254 .61178 m .18254 .61803 L s .34127 .61178 m .34127 .61803 L s .5 .61178 m .5 .61803 L s .65873 .61178 m .65873 .61803 L s .81746 .61178 m .81746 .61803 L s .97619 .61178 m .97619 .61803 L s .125 Mabswid .06349 .61428 m .06349 .61803 L s .10317 .61428 m .10317 .61803 L s .14286 .61428 m .14286 .61803 L s .22222 .61428 m .22222 .61803 L s .2619 .61428 m .2619 .61803 L s .30159 .61428 m .30159 .61803 L s .38095 .61428 m .38095 .61803 L s .42063 .61428 m .42063 .61803 L s .46032 .61428 m .46032 .61803 L s .53968 .61428 m .53968 .61803 L s .57937 .61428 m .57937 .61803 L s .61905 .61428 m .61905 .61803 L s .69841 .61428 m .69841 .61803 L s .7381 .61428 m .7381 .61803 L s .77778 .61428 m .77778 .61803 L s .85714 .61428 m .85714 .61803 L s .89683 .61428 m .89683 .61803 L s .93651 .61428 m .93651 .61803 L s .25 Mabswid 0 .61803 m 1 .61803 L s .99375 0 m 1 0 L s .99375 .10301 m 1 .10301 L s .99375 .20601 m 1 .20601 L s .99375 .30902 m 1 .30902 L s .99375 .41202 m 1 .41202 L s .99375 .51503 m 1 .51503 L s .125 Mabswid .99625 .02575 m 1 .02575 L s .99625 .0515 m 1 .0515 L s .99625 .07725 m 1 .07725 L s .99625 .12876 m 1 .12876 L s .99625 .15451 m 1 .15451 L s .99625 .18026 m 1 .18026 L s .99625 .23176 m 1 .23176 L s .99625 .25751 m 1 .25751 L s .99625 .28327 m 1 .28327 L s .99625 .33477 m 1 .33477 L s .99625 .36052 m 1 .36052 L s .99625 .38627 m 1 .38627 L s .99625 .43777 m 1 .43777 L s .99625 .46353 m 1 .46353 L s .99625 .48928 m 1 .48928 L s .99625 .54078 m 1 .54078 L s .99625 .56653 m 1 .56653 L s .99625 .59228 m 1 .59228 L s .25 Mabswid 1 0 m 1 .61803 L s 0 .30902 m 1 .30902 L s 0 0 m 1 0 L 1 .61803 L 0 .61803 L closepath clip 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