(* Content-type: application/mathematica *) (*** Wolfram Notebook File ***) (* http://www.wolfram.com/nb *) (* CreatedBy='Mathematica 6.0' *) (*CacheID: 234*) (* Internal cache information: NotebookFileLineBreakTest NotebookFileLineBreakTest NotebookDataPosition[ 145, 7] NotebookDataLength[ 119204, 2284] NotebookOptionsPosition[ 113507, 2123] NotebookOutlinePosition[ 113866, 2139] CellTagsIndexPosition[ 113823, 2136] WindowFrame->Normal ContainsDynamic->False*) (* Beginning of Notebook Content *) Notebook[{ Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[StyleBox["Phys 263 notebook for 3 June 09", "Subtitle"]], \ "Subsubtitle", CellChangeTimes->{{3.4530229611210003`*^9, 3.4530229888710003`*^9}}], Cell["Let's step through the homework for the week.", "Text", CellChangeTimes->{{3.453022998002*^9, 3.453023002058*^9}, { 3.4530230379700003`*^9, 3.4530230585220003`*^9}}], Cell[CellGroupData[{ Cell["BTM 6.4.5 -- Some contour integrals", "Subsection", CellChangeTimes->{{3.453023067567*^9, 3.453023079288*^9}}], Cell["\<\ Sometimes a given real integral is readily expressed in terms of a contour \ integral: E.g. this one, which can be done w/o contours too:\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.4530232109230003`*^9, 3.453023316242*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "\[Theta]_", "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{ RowBox[{"Cos", "[", "\[Theta]", "]"}], "/", RowBox[{"(", RowBox[{"5", "+", RowBox[{"4", " ", RowBox[{"Cos", "[", "\[Theta]", "]"}]}]}], ")"}]}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452909560366*^9, 3.4529095797200003`*^9}, { 3.452953909663*^9, 3.452953912612*^9}, {3.453030956547824*^9, 3.453030958954089*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Plot", "[", RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "\[Theta]", "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"\[Theta]", ",", "0", ",", RowBox[{"2", "\[Pi]"}]}], "}"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452909580975*^9, 3.452909596953*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Integrate", "[", RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "\[Theta]", "]"}], ",", "\[Theta]"}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4529096038859997`*^9, 3.452909613106*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Integrate", "[", RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "\[Theta]", "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"\[Theta]", ",", "0", ",", RowBox[{"2", "\[Pi]"}]}], "}"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4529096038859997`*^9, 3.452909648959*^9}}], Cell["\<\ But to do it by contours, introduce z=Exp[I \[Theta]], which traces out the \ unit circle as \[Theta] ranges from 0 to 2\[Pi]. Then trade Cos[\[Theta]] for (1/2)(z + 1/z) and similiarly for Sin[\[Theta]], \ and noting d\[Theta] = -I dz/z we define\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453023331552*^9, 3.45302346152*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"g", "[", "z_", "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"1", "/", "2"}], ")"}], RowBox[{"(", RowBox[{"z", "+", RowBox[{"1", "/", "z"}]}], ")"}]}], ")"}], "/", " ", RowBox[{"(", RowBox[{"5", " ", "+", " ", RowBox[{"4", RowBox[{"(", RowBox[{"1", "/", "2"}], ")"}], RowBox[{"(", RowBox[{"z", "+", RowBox[{"1", "/", "z"}]}], ")"}]}]}], ")"}]}], " ", "/", " ", RowBox[{"(", RowBox[{"I", " ", "z"}], ")"}]}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4529096740880003`*^9, 3.4529098095950003`*^9}, { 3.452953827123*^9, 3.452953835059*^9}, {3.453030970001035*^9, 3.45303097546982*^9}}], Cell["Let's make a picture of the integral we need to do:", "Text", CellChangeTimes->{{3.45302348335*^9, 3.453023526727*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Needs", "[", "\"\\"", "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452909534135*^9, 3.452909543141*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"pplot", " ", "=", " ", RowBox[{"ParametricPlot", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"Cos", "[", "s", "]"}], ",", RowBox[{"Sin", "[", "s", "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"s", ",", "0", ",", RowBox[{"2", "\[Pi]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"PlotStyle", "\[Rule]", "Yellow"}]}], "]"}]}], ";"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4529100149519997`*^9, 3.45291005844*^9}, { 3.4529514830950003`*^9, 3.4529514925620003`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"qplot", " ", "=", " ", RowBox[{"QComplexDensityPlot", "[", RowBox[{ RowBox[{"g", "[", RowBox[{"x", "+", RowBox[{"I", " ", "y"}]}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", RowBox[{"-", "1"}], ",", "1"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"y", ",", RowBox[{"-", "1"}], ",", "1"}], "}"}], ",", RowBox[{"Mesh", "\[Rule]", "False"}], ",", RowBox[{"PlotPoints", "\[Rule]", "100"}]}], "]"}]}], ";"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452909546318*^9, 3.45290954926*^9}, {3.452909867484*^9, 3.4529099098310003`*^9}, {3.452909944507*^9, 3.452909946809*^9}, { 3.452909984672*^9, 3.452910003396*^9}, {3.452910061631*^9, 3.452910062726*^9}, {3.452951503105*^9, 3.4529515100950003`*^9}, { 3.4529556328190002`*^9, 3.4529556351610003`*^9}, {3.453023634472*^9, 3.45302365233*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Show", "[", RowBox[{"qplot", ",", "pplot"}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452910066571*^9, 3.452910069641*^9}}], Cell["\<\ The white spots indicate singularities, perhaps simple poles with residues. To find them:\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.4530236730959997`*^9, 3.4530237067799997`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Solve", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"1", "/", RowBox[{"g", "[", "z", "]"}]}], "\[Equal]", "0"}], ",", "z"}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4529116464820004`*^9, 3.452911652392*^9}}], Cell["\<\ Then check if multiplying by (z-z0) leads to something finite:\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.4530237144309998`*^9, 3.45302373106*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"res0", " ", "=", " ", RowBox[{"Limit", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", "*", RowBox[{"(", RowBox[{"g", "[", "z", "]"}], ")"}]}], ",", RowBox[{"z", "\[Rule]", "0"}]}], "]"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452911670224*^9, 3.452911689777*^9}, {3.452911740266*^9, 3.452911741962*^9}, {3.452953855646*^9, 3.4529538559040003`*^9}, { 3.452954652745*^9, 3.4529546687460003`*^9}, {3.4530309866573915`*^9, 3.453030987032394*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"res1", " ", "=", " ", RowBox[{"Limit", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"z", "+", RowBox[{"1", "/", "2"}]}], ")"}], "*", RowBox[{"g", "[", "z", "]"}]}], ",", RowBox[{"z", "\[Rule]", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "/", "2"}]}]}], "]"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452911695215*^9, 3.4529117465360003`*^9}}], Cell["\<\ If so, add up all of the contributions from inside the contour:\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453023757414*^9, 3.453023785008*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"2", " ", "\[Pi]", " ", "I", " ", RowBox[{"(", RowBox[{"res0", " ", "+", " ", "res1"}], ")"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452911721895*^9, 3.452911729815*^9}}], Cell["What if there is a double pole sitting on top? e.g.", "Text", CellChangeTimes->{{3.453023801526*^9, 3.4530238434639997`*^9}, { 3.45302389152*^9, 3.4530239021879997`*^9}, {3.453023949273*^9, 3.453023952858*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "z_", "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{ RowBox[{"a", "/", RowBox[{"z", "^", "2"}]}], " ", "+", " ", RowBox[{"b", " ", "/", "z"}], " ", "+", " ", "c"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4530238447530003`*^9, 3.453023857946*^9}, { 3.453023904296*^9, 3.4530239097939997`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Limit", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", "*", RowBox[{"f", "[", "z", "]"}]}], ",", RowBox[{"z", "\[Rule]", "0"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453023863472*^9, 3.453023871733*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Limit", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"z", "^", "2"}], "*", RowBox[{"f", "[", "z", "]"}]}], ",", RowBox[{"z", "\[Rule]", "0"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.45302387725*^9, 3.4530238851549997`*^9}, { 3.453023930726*^9, 3.45302393351*^9}}], Cell["\<\ Having determined the coefficient of the double pole we can then subtract it \ to expose the simple pole which gives a contribution to the sum of residues.\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453023968465*^9, 3.453024036867*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Limit", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", "*", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "z", "]"}], "-", RowBox[{"a", "/", RowBox[{"z", "^", "2"}]}]}], ")"}]}], ",", RowBox[{"z", "\[Rule]", "0"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453023996453*^9, 3.4530240151730003`*^9}}], Cell["\<\ Your job: repeat, replacing the Cos(\[Theta]) by Sin(\[Theta]) and by Sin^2(\ \[Theta]). In the first case, the odd integrand will plainly integrate to zero, which \ means the two residues must cancel. And in the Sin^2 case, you'll have to deal with the double pole which sits \ right on top the simple pole.\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453024045986*^9, 3.453024127928*^9}, { 3.4530310214857397`*^9, 3.4530311023768826`*^9}}], Cell["\<\ Also take a look at f(z) = 1/(1+z^4) (i.e. QComplexDensityPlot it) and \ observe the sea of blackness which allows you to complete the contour in any direction.\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453024167999*^9, 3.453024216323*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"g", "[", "z_", "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{"1", "/", RowBox[{"(", RowBox[{"1", "+", RowBox[{"z", "^", "4"}]}], ")"}]}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453024256809*^9, 3.4530242679519997`*^9}}], Cell["Here is how we find the poles:", "Text", CellChangeTimes->{{3.453024279987*^9, 3.4530242864110003`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"solns", " ", "=", RowBox[{"Solve", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"1", "/", RowBox[{"g", "[", "z", "]"}]}], "\[Equal]", "0"}], ",", "z"}], "]"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{3.452946526223*^9, {3.453024335402*^9, 3.453024338185*^9}}], Cell["To make this in to a list of numbers:", "Text", CellChangeTimes->{{3.45302434806*^9, 3.453024354775*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"poles", "=", RowBox[{"z", "/.", "solns"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452911823493*^9, 3.45291184831*^9}, {3.452911976704*^9, 3.452911977111*^9}, {3.453024361637*^9, 3.45302436252*^9}}], Cell["\<\ To convert to a list of residues at each of these poles, using the \"pure \ function\" and \"mapping\" concepts:\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.4530243703640003`*^9, 3.453024393899*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"residues", "=", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Limit", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"z", "-", "#"}], ")"}], RowBox[{"g", "[", "z", "]"}]}], ",", RowBox[{"z", "\[Rule]", "#"}]}], "]"}], "&"}], "/@", " ", "poles"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452911867441*^9, 3.4529119576619997`*^9}, { 3.452911988834*^9, 3.4529119896099997`*^9}, {3.452912054891*^9, 3.4529120562209997`*^9}}], Cell["\<\ Then identifying the poles we want when we enclose in the upper half plane:\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453024405266*^9, 3.453024431211*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"2", " ", "\[Pi]", " ", "I", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"residues", "[", RowBox[{"[", "2", "]"}], "]"}], "+", RowBox[{"residues", "[", RowBox[{"[", "4", "]"}], "]"}]}], ")"}]}], "//", "Simplify"}]], "Input",\ CellChangeTimes->{{3.452912075762*^9, 3.4529120995480003`*^9}}], Cell["\<\ Your job: what if we close in the lower half plane? And repeat for f(z) = (1/2) z^2 / ((z^2+5^2)(z^2+4^2)) where we note that the \ integral of this even function from -\[Infinity] to +\[Infinity] is twice the \ result from 0 to \[Infinity] (which is what part (iii) asks about).\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453024447785*^9, 3.453024584835*^9}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["BTM 9.7.10", "Subsection", CellChangeTimes->{{3.45302413184*^9, 3.453024136057*^9}}], Cell["asks about an integral begging for a contour.", "Text", CellChangeTimes->{{3.453024656883*^9, 3.453024675362*^9}, {3.453024831276*^9, 3.453024838183*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"g", "[", "z_", "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{ RowBox[{"Exp", "[", RowBox[{ RowBox[{"-", "I"}], " ", "k", " ", "z"}], "]"}], "/", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"z", "^", "2"}], " ", "+", " ", RowBox[{"a", "^", "2"}]}], ")"}]}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453024676967*^9, 3.4530247556429996`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"p", "=", " ", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"k", "\[Rule]", RowBox[{"-", "1"}]}], ",", RowBox[{"a", "\[Rule]", "1"}]}], "}"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4530247768120003`*^9, 3.453024801843*^9}}], Cell["\<\ Choose parameters, e.g. those above, and Qplot it. If we want the integral \ from -\[Infinity] to +\[Infinity] along the real axis, can we complete the contour in the upper and/or lower half plane? What \ happens when you flip the sign of k?\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453024766273*^9, 3.45302477296*^9}, {3.453024807014*^9, 3.453024895692*^9}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["BTM 9.7.14", "Section", CellChangeTimes->{{3.452279416547*^9, 3.4522794175179996`*^9}, { 3.45302504225*^9, 3.4530250423450003`*^9}}], Cell["\<\ Pasted below is the cell for BTM 9.7.12. This week, the problem is: for a \ string of length and wavespeed v, find the time evolution of a wave starting with f(x)=h \ \[Theta](x)\[Theta](L/2 - x) at t=0.\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453025052523*^9, 3.4530251803710003`*^9}, { 3.453025217052*^9, 3.4530252298389997`*^9}}], Cell["\<\ Another example of the utility of Fourier transforms: they are the \"nice\" \ modes for the vibrating string. Suppose we pluck a string with a certain initial pattern of displacements, \ and for our first pass let's assume we start everything from rest (i.e. our particular solution will be a \ sum of Cos[\[Omega] t]'s with no Sin's).\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.452418156936*^9, 3.4524182992139997`*^9}}], Cell["Define a starting shape for the string:", "Text"], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "x_", "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{ RowBox[{"2", "x", " ", RowBox[{"UnitStep", "[", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"1", "/", "2"}], ")"}], "-", "x"}], "]"}]}], " ", "+", " ", RowBox[{"2", RowBox[{"(", RowBox[{"1", "-", "x"}], ")"}], RowBox[{"UnitStep", "[", RowBox[{"x", "-", RowBox[{"(", RowBox[{"1", "/", "2"}], ")"}]}], "]"}]}]}]}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"Plot", "[", RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "x", "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "1"}], "}"}]}], "]"}]], "Input"], Cell["Fourier decompose in terms of sin():", "Text"], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"\[Phi]", "[", RowBox[{"n_", ",", "x_"}], "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{"Sin", "[", " ", RowBox[{"\[Pi]", " ", "n", " ", "x"}], "]"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452418354152*^9, 3.452418355219*^9}}], Cell["\<\ Don't forget to check that is is OK: (actually this one isn't--- I'm asking \ you to fix it by changing the line above until the line below is coming out \ to its proper value of 1)\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.452418317139*^9, 3.452418403949*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Integrate", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"\[Phi]", "[", RowBox[{"12", ",", "x"}], "]"}], "^", "2"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "1"}], "}"}]}], "]"}]], "Input"], Cell["Now we can go on to get the coefficients:", "Text", CellChangeTimes->{{3.452418411094*^9, 3.45241841817*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"a", "[", "n_", "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{"Integrate", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"\[Phi]", "[", RowBox[{"n", ",", "x"}], "]"}], RowBox[{"f", "[", "x", "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "1"}], "}"}]}], "]"}]}]], "Input"], Cell["Sometimes it is clearer as a simple list:", "Text", CellChangeTimes->{{3.452418426124*^9, 3.452418433091*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"a", "[", "n", "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"n", ",", "1", ",", "5"}], "}"}]}], "]"}], " "}]], "Input", CellChangeTimes->{3.45227944677*^9}], Cell["Then assemble the modes and plot:", "Text", CellChangeTimes->{{3.452418440226*^9, 3.452418450374*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"g", "[", RowBox[{"n_", ",", "x_"}], "]"}], " ", ":=", " ", RowBox[{"Sum", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"a", "[", "j", "]"}], "*", RowBox[{"\[Phi]", "[", RowBox[{"j", ",", "x"}], "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"j", ",", "1", ",", "n"}], "}"}]}], "]"}]}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"Plot", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "x", "]"}], ",", RowBox[{"g", "[", RowBox[{"15", ",", "x"}], "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "1"}], "}"}]}], "]"}]], "Input"], Cell["\<\ Once we have the coefficients (as determined from t=0 data) we can use them \ to form the solution at general t:\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.4524184644049997`*^9, 3.452418513078*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"\[Psi]", "[", RowBox[{"n_", ",", "x_", ",", "t_"}], "]"}], " ", ":=", " ", RowBox[{"Sum", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"a", "[", "j", "]"}], RowBox[{"\[Phi]", "[", RowBox[{"j", ",", "x"}], "]"}], RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{"j", " ", "\[Pi]", " ", "t"}], "]"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"j", ",", "1", ",", "n"}], "}"}]}], "]"}]}]], "Input"], Cell["Check out what the function is at some future time:", "Text", CellChangeTimes->{{3.452418533578*^9, 3.452418549637*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"\[Psi]", "[", RowBox[{"15", ",", "0", ",", ".1"}], "]"}]], "Input"], Cell["And the plot it:", "Text", CellChangeTimes->{{3.45241854005*^9, 3.452418562549*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Plot", "[", RowBox[{ RowBox[{"\[Psi]", "[", RowBox[{"15", ",", "x", ",", ".1"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "1"}], "}"}], ",", RowBox[{"PlotRange", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"0", ",", "1"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], ",", "1"}], "}"}]}], "}"}]}]}], "]"}]], "Input"], Cell["And of course, Animate:", "Text", CellChangeTimes->{{3.4524185705889997`*^9, 3.452418583784*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Animate", "[", RowBox[{ RowBox[{"Plot", "[", RowBox[{ RowBox[{"\[Psi]", "[", RowBox[{"15", ",", "x", ",", "t"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "1"}], "}"}], ",", RowBox[{"PlotRange", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"0", ",", "1"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], ",", "1"}], "}"}]}], "}"}]}]}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"t", ",", ".1", ",", "2", ",", ".1"}], "}"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.452358861318*^9, 3.452358862275*^9}}], Cell["\<\ If the function takes some time to compute, you can make a better movie by \ computing the frames once and for all:\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.452418591402*^9, 3.452418622649*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"Plot", "[", RowBox[{ RowBox[{"\[Psi]", "[", RowBox[{"15", ",", "x", ",", "t"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "1"}], "}"}], ",", RowBox[{"PlotRange", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"0", ",", "1"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], ",", "1"}], "}"}]}], "}"}]}]}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"t", ",", ".1", ",", "2", ",", ".1"}], "}"}]}], "]"}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"ListAnimate", "[", "%", "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4522796583570004`*^9, 3.452279667347*^9}}], Cell["\<\ Your job: repeat for the function of problem 9.7.13, where the string length \ is L=\[Pi] and the initial displacement is: \"between 0 and \[Pi]/4, rises linearly from 0 to 1; from \[Pi]/4 to 3\[Pi]/4 \ falls linearly from 1 to -1; between 3\[Pi]/4 and \[Pi], rises from -1 back \ to 0\". Challenge: change the boundary conditions so we start with some velocities. \ How should the velocities be chosen if you want to launch a wave in one \ direction only?\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.452418893816*^9, 3.452418928558*^9}, { 3.4524189596140003`*^9, 3.45241896584*^9}, {3.452419082849*^9, 3.45241922501*^9}}], Cell[CellGroupData[{ Cell["More homework issues", "Subsection", CellChangeTimes->{{3.453025262611*^9, 3.453025266402*^9}}], Cell["\<\ Much of the homework is meant as a practice final. Make sure you can do the \ following kind of problems \"by hand\".\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453025272244*^9, 3.4530253129560003`*^9}}], Cell["Suppose we want the series for ", "Text", CellChangeTimes->{{3.453025318402*^9, 3.453025324605*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "x_", "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{ RowBox[{"Cos", "[", "x", "]"}], " ", RowBox[{"Sin", "[", "x", "]"}]}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.45302532531*^9, 3.45302538958*^9}}], Cell["If you are a computer, you can just take derivatives:", "Text", CellChangeTimes->{{3.453025401639*^9, 3.4530254166*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Series", "[", RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "x", "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "20"}], "}"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025417711*^9, 3.453025422586*^9}}], Cell["But by hand it is better to multiply series:", "Text", CellChangeTimes->{{3.4530254287530003`*^9, 3.453025437024*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"cosseries", " ", "=", " ", RowBox[{"Series", "[", RowBox[{ RowBox[{"Cos", "[", "x", "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "4"}], "}"}]}], "]"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4530254402139997`*^9, 3.453025473151*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"sinseries", " ", "=", " ", RowBox[{"Series", "[", RowBox[{ RowBox[{"Sin", "[", "x", "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "4"}], "}"}]}], "]"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025478098*^9, 3.4530254852720003`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"sinseries", "*", "cosseries"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025488115*^9, 3.4530254943*^9}}], Cell["Likewise for compound functions:", "Text", CellChangeTimes->{{3.453025505582*^9, 3.4530255112869997`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "x_", "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{"2", " ", RowBox[{"ArcTan", "[", RowBox[{"2", " ", "x"}], "]"}]}], "]"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025512395*^9, 3.4530255325150003`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Series", "[", RowBox[{ RowBox[{"f", "[", "z", "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"z", ",", "0", ",", "4"}], "}"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025534025*^9, 3.453025541877*^9}, {3.453025653481*^9, 3.453025655071*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"aseries", " ", "=", " ", RowBox[{"Series", "[", RowBox[{ RowBox[{"ArcTan", "[", "x", "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "0", ",", "4"}], "}"}]}], "]"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025547337*^9, 3.453025568922*^9}, {3.453025676216*^9, 3.4530256784560003`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Normal", "[", RowBox[{"aseries", "/.", RowBox[{"x", "\[Rule]", RowBox[{"2", " ", "z"}]}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025572867*^9, 3.453025602118*^9}, {3.453025666309*^9, 3.453025698691*^9}, {3.4530257337*^9, 3.4530257363450003`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"cosseries", " ", "/.", " ", RowBox[{"x", "\[Rule]", " ", "%"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.45302570271*^9, 3.453025711723*^9}}], Cell["If we want to solve, say,", "Text", CellChangeTimes->{{3.453025761439*^9, 3.453025771541*^9}}], Cell[BoxData[{ RowBox[{"eqn1", " ", "=", " ", RowBox[{ RowBox[{"x", " ", "-", " ", RowBox[{"2", "y"}]}], " ", "\[Equal]", "3"}]}], "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"eqn2", " ", "=", " ", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"3", " ", "x"}], " ", "+", " ", RowBox[{"2", " ", "y"}]}], " ", "\[Equal]", " ", "1"}]}]}], "Input", CellChangeTimes->{{3.4530257732799997`*^9, 3.453025792215*^9}}], Cell["We can Solve:", "Text", CellChangeTimes->{{3.453025795832*^9, 3.453025797891*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"Solve", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"eqn1", ",", "eqn2"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "y"}], "}"}]}], "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025807237*^9, 3.4530258129519997`*^9}}], Cell["\<\ Your job: write a matrix and get the solution by matrix inversion. Very specifically, change the numbers in the following to match the problem \ above:\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453025816289*^9, 3.453025872387*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"m", " ", "=", " ", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{"1", ",", "2"}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"3", ",", "4"}], "}"}]}], "}"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025873417*^9, 3.4530258874519997`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"MatrixForm", "[", "m", "]"}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025888542*^9, 3.453025890594*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"minv", " ", "=", " ", RowBox[{"Inverse", "[", "m", "]"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4530258927*^9, 3.45302590227*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{"minv", ".", RowBox[{"{", RowBox[{"1", ",", "0"}], "}"}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.4530259049300003`*^9, 3.453025909781*^9}}], Cell["\<\ Another homework problem asks for the critical points for a function\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453025937941*^9, 3.4530259785299997`*^9}}], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"f", "[", RowBox[{"x_", ",", "y_"}], "]"}], " ", "=", " ", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"x", "^", "3"}], "/", "3"}], " ", "+", " ", RowBox[{"y", "^", "2"}], " ", "-", " ", RowBox[{"x", " ", "y"}]}]}]], "Input", CellChangeTimes->{{3.453025965461*^9, 3.453025991387*^9}}], Cell["\<\ Your job: Solve the equations which say f is flat at (x,y), construct the \ Hessian matrix, and find the eigenvalues and eigenvectors.\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.453025999159*^9, 3.4530260432279997`*^9}}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Bonus", "Subsection", CellChangeTimes->{{3.453026071835*^9, 3.453026072399*^9}}], Cell["\<\ As stated, the bonus problem this week is \"Animate something.\" Feel free \ to use any of the notebooks on the web page as a starting point. And pasted below is one guys solution \ to the double pendulum.\ \>", "Text", CellChangeTimes->{{3.45302607702*^9, 3.453026149184*^9}, {3.453026217633*^9, 3.453026229314*^9}, {3.453026276737*^9, 3.45302629223*^9}}] }, Open ]] }, Open ]] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Double Pendulum", "Title"], Cell["Bill Ruane", "Text", TextAlignment->Right], Cell[GraphicsData["Metafile", "\<\ CF5dJ6E]HGAYHf4PEfU^I6mgLb15CDHPAVmbKF5d0@000>3L0@0005P00000000000000:40001X0000 00000000002_4000`@X00215CDH00040g>0000/000010000000000000000000080<005P2003C0000 WP0004H0002TK`00V6l004M4BD<1002000<0045TNJT00000P6l000402@000k0g000009Hg000000@0 00030@P01@0000/2000000D0000<0Th0N@2F=`00@`lP0<`0001>07T0000004h0N@000000:00007T0 001>00000@0H0000000000004@/0014;0000000000000?oooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooofIVI_oooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo`3ooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0003ooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0oooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0000oooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0?oooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo`00 0?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo`3ooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0oooooooo ooooooooooooooooIVIVoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0?oo ooooooooooooooooooooo`000?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo o`3oooooooooooooooooooooool0003ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooool0oooooooooooooooooooooooo0000oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooo0?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooo`3ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooool0003ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooool0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0000oooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooo0?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo`000?oooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooo`3ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0003ooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0?ooooooooooooooooooooooo`000?oooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooonGUiGmoOb/[:b/[:gmoOnGUiOoooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo`3oooooooooooooooooooooool0003o oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooomoOgl0000000000000001oOgoooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0oooooooooooooooooooooooo 0000oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo:RXZ0@410P8200000000:RXZoooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0?oooooooooooooooooo ooooo`000?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 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<310@43ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooofm_JWYjM:BTX>3PiQHF6n_[kooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooono_kl0001PH6000000001oOgl@4100001`L73ooooooooooooooon?Shl@ 413Ogml0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooo0000ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooOgmo0000oooo ooooOgmo0000oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooo_[jnHF5Q3Ph>BTY:YjNWm_Kfoooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooookno__knokno_clo?clo?oooogmoO_knoooooooookno_oooooooo [jn_0000_kno0?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooo`000?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooinOW`00 0R;Rh/^;RhL71b2PX;Shn?ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0oooooooooooooooooooooooo0000oooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooo0000oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooom_Kf YjNWBTY:3Ph>HF5Q_[jnoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0?ooooooooooooooooooooooo`000?oooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooo`0000000?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooookjn_V5Q H@h>3TY:BZNWYoKfm_oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo`3ooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooool0003ooooooooooooooooooooooooooooShn=mOGdL71`^ ;Rj;Rh_Xj>Sooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0oooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0000oooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0000oooooooooooooooolO7aWYjN@D515aLGM7Ad 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ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo`0007moOooooooo ooooooooogmoOc0`<=oOgooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo o`3oooooooooooooooooooooool0003ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooVi^J0P80[:b/0001oOgoUiNGooonn_[iQHF4>3Pi:BTZWYjOfm_Kooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0001oOgoo oooooooooooooooooonOWil@412_[joooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooool0oooooooooooooooooooooooo0000oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooPH6110@40P8200000000?clo71`L;Rh^Rh^;j>SXoooooooooooooooooooooooooooo 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oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooo`000?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooo`3ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0003ooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooool0oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0000oooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooo0?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo`3ooooooooooooooooooooooomVIVKooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0oooooooooooooooooooooooo0000oooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0?ooooooooooooooooooooooo`00 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oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo0?oooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooo`000?oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo`3ooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooool0003ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooool0 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooo0000oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 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